スライドパズルの数学

バイオハザード４、PCバージョンをやってて、アシュリー

（参考動画）



を操作するシーンで3*3のスライドパズルがあった。
こんなの
http://curahome.net/puzzle/slidepuzzle/3x3/

小さい頃にディズニーランドのお土産とかで遊んだことあるけど、これの数学使って何かわからないの？とか思ってシコシコノートにカキカキしてたけど、イマイチ（このとき料金未払いでネット止まってたorz)。


すぐ思いつくのは、例えば簡単のために2*2にして、4マスだから、4を空白として(2,4,3,1)と数を並べて、４と左右は交換OK、上下の交換4±2（一般にn*nならn^2±n）もOK。それ以外はダメ。交換は普通に行列で表現できる。ココまではいい。

で、スタート時のベクトルをxs、完成時のベクトルをx0、１回の操作の行列をTiとすると、
Tを何回かかけて完成させるわけだから。

Tn・・・・T2T1 x_s=x_0

・・・で、どーする？
操作の行列のdetは-1。くらいしか手がかりが思いつかなくてGive Up！

で、ネット復活。

高校生への数学講義の一例 : 15パズルの非可解性について　和歌山大学教育学部教育実践総合センター紀要
http://tinyurl.com/y8e7zx9

なるほろ、と思った。交代式みたいなの持ってくるのね・・・と。あと、空白の場所の情報(i+j)。


1.任意の要素の交換で転置数（2つの数の組み合わせを順番に全て書き出して(a,b)でa>bとなるもの）の偶奇は必ず変化する。偶数→奇数　奇数→偶数

2.意味のある操作は全て要素の交換で表せる

3.位置情報を加えた転置数+i+j（名前忘れたｗ）を考えると、上下左右の移動で偶奇は必ず変化する

4.1と3より、結局1回の操作で偶奇は変化しない

初期状態、例えば(1234)は転置数0で偶数。よって、可能な配置である必要条件は転置数が偶数であること。つまり、奇数だったら解けない。
とあって、実は必要十分なんだけど、その証明は参考文献みてください～♪で終わってた。
3*3だっったら9!÷２が可能な配置の数。
置換群から学ぶ組み合わせなんちゃら、理科大の時、離散数学担当してた吉沢なんちゃら先生の本だったけど借りてみよーかなっと。

新規、既存のアイディアを元に記号とか用語とかその場で定義して使いこなす数学の人ってすげーなぁ、と思った。


っていうのをmixi日記に書いたけど場違いだと思った。

カウエル理論の勉強メモ

カウエルの理論について友人と勉強していて、知識補完のために作ったメモ （Evernoteからのコピペ、というかほぼそのまま）。

友人→音楽学を専攻する院生。電子音楽に興味がある。　

僕→てきとーに音大でピアノやって、てきとーに理科大で物理ごっこやってた

以下本題。

全ての基礎を「音」に置く。

そもそも音とは？

・空気の振動

例えばピアノでA4の弦のみを鳴らすと、1秒間に440回弦が振動（調律による）→1秒間に440回空気に振動が伝わる

目盛りは無視してみてくれ

例えば縦軸をギターの弦の平均の位置からのズレ、横軸を時間として考える。

波が（ギターの弦が）３往復している。この場合、ギターの弦が3回振動した、と考える。

仮にグラフの右端が1秒だとしたら、3回／1秒。つまり3Hzとなる（実際には聞こえるハズがないが）。

上のピアノの例の場合だと、これが440回分あるということ。（ただし実際にはもっと複雑な波形になる。そしてその形が”音色”を特徴付けるのだ）。

コレは１秒間に6回振動している。上の2倍だ。

周波数が2倍になると音の高さも2倍に聞こえる。

そして下が二つのグラフを重ねたもの。赤丸の点が一致している事に注目。

そしてこれはこう考えることもできる

6Hzの音は3Hzの音を含んでいる

同様に9Hzの音は３Hzの音を、一般に3×1,3×2,3×3,3×4・・・・ヘルツの音、つまり”倍音”は３Hz（基音）を含んでいる。

例えば３HZの音をC_base（実際には違うが）、６HZの音をオクターブ高いC、９HZの音はGと割り振る。

確かに　C:G=6:9=2:3　となっていて、よく知られている完全５度の比率と一致する。

また、

C_base:C:G=1:2:3　

倍音の数がふえても同じ。

ところで、上の図の例にあてはめると、C_baseが振動している間にCは２回振動している事がわかる（同時に鳴らした場合）。

C_baseが１回鳴っている間にCは２回鳴っているとみなす事もできる

。

そこで、Cの「音の長さ＝音価」をC_baseの1/2としてみよう！

というのがカウエルのideaだ！

同様に、

C_baseが１回振動している間にGは３回　→　Gの音価をCの1/3としてみよう

CとGの音価の比率は（以下記号だけで音価を表す）

C_base:C:G=1:1/2:1/3

C:G=1/2:1/3=3:2

と、周波数と逆比になる。

これも倍音の数が増えても同じ。

このとことん倍音（比例）を基本としたアイディアを、音の長さ以外にも、テンポ、拍子、拍数にも拡張する。

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３倍まで含めたグラフ